[1] | Arthur Engel: “Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik Band 2”, Klett Studienbücher, Stuttgart 1976 |
[2] | Arthur Engel: “The probabilistic abacus” aus “Educational Studies in Mathematics 6” S. 1-22, D. Reidel Publishing Company, Dordrecht-Holland 1975 |
[3] | Arthur Engel: “Why does the probabilistic abacus work?” aus “Educational Studies in Mathematics 7” S. 59-69, D. Reidel Publishing Company, Dordrecht- Holland 1976 |
[4] | J. Laurie Snell: “The Engel algorithm for absorbing Markov chains”, GNU FDL, o.O 1979 |
[5] | Anette Illgen: “Einführung in die Theorie der Markovketten”, Seminarvortrag an der Universität Bremen, Bremen, 2004 |
[6] | Christian Siegel: “Facharbeit Mathemematik: Markov-Ketten”, Kirn 2003 |
[7] | Arndt Brünner: “Rechner zum lösen linearer Gleichungssysteme: http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/gleichungssysteme.htm |
[8] | Arndt Brünner: “Inverse Matrix berechnen”: http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/inversematrix.htm |
Es sei:
Das Spielbrett wird kritisch geladen und wir wählen einen Startknoten i. Während des Spieles wird eine bestimmte Anzahl Steine in i nachgeladen (Zufluß). Jedem Spielstein wird eine feste gleiche Masse zugewiesen, so dass der Zufluß insgesamt die Masse 1 hat. Am Ende des Spieles hat sich diese Masse auf den Rand R verteilt. Die Massenverteilung im Inneren ist wie am Anfang. Wir betrachten zunächst nur innere Knoten.
t
Jetzt betrachten wir die absorbierenden Knoten. Es sei i der Startknoten und j ein absorbierender Knoten.
Wir nehmen an, dass von der in Knoten i nachgeladenen Masse 1 die Masse nach Knoten j fließt. Es gilt:
oder in Matrixschreibweise:
Vergleicht man diese Formel mit (1.7) so sieht man, dass die in einen absorbierenden Knoten j zufließende Masse korrekt die Absorbtionswahrscheinlichkeit in Knoten j wiedergibt.
Wir fassen diese Wahrscheinlichkeit im Hauptsatz für absorbierende Markovketten nach der Spielbrettmethode zusammen:
Es sei tij die erwartete Anzahl Besuche in Knoten j mit Startknoten i und es sei mi die erwartete Anzahl
Schritte bis zur Absortion bei Start in Knoten i. Dann gilt: